【转】BYV--有向图强连通分量的Tarjan算法-白红宇

【转】BYV--有向图强连通分量的Tarjan算法

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发布时间：2019-06-09

本文共 4468 字，大约阅读时间需要 14 分钟。

转自beyond the void 的博客：

注：红色为标注部分

[有向图强连通分量]

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，

Low(u)=Min{    DFN(u),    Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点    DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)}

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

◦如果一个节点u已经DFS访问结束，而且此时其low值等于dfn值，则说明u可达的所有节点，都不能到达任何在u之前被DFS访问的节点 ---- 那么该节点u就是一个强连通分量在DFS搜索树中的根。

算法伪代码如下

tarjan(u){    DFN[u]=Low[u]=++Index                      // 为节点u设定次序编号和Low初值    Stack.push(u)                              // 将节点u压入栈中    for each (u, v) in E                       // 枚举每一条边        if (v is not visted)               // 如果节点v未被访问过            tarjan(v)                  // 继续向下找            Low[u] = min(Low[u], Low[v])        else if (v in S)                   // 如果节点v还在栈内            Low[u] = min(Low[u], DFN[v])    if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果节点u是强连通分量的根        repeat            v = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点            print v        until (u== v)}

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者命名的。Robert Tarjan还发明了求的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。

附：tarjan算法的C++程序

void tarjan(int i){    int j;    DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;    instack[i]=true;    Stap[++Stop]=i;    for (edge *e=V[i];e;e=e->next)    {        j=e->t;        if (!DFN[j])        {            tarjan(j);            if (LOW[j]

[参考资料]

的图论总结

原创作品，转载请注明。

◦思想：

◦

◦做一遍DFS，用dfn[i]表示编号为i的节点在DFS过程中的访问序号(也可以叫做开始时间）用low[i]表示i节点DFS过程中i的下方节点所能到达的开始时间最早的节点的开始时间。（也就是之后的深搜所能到达的最小开始时间）初始时dfn[i]=low[i]

◦

◦在DFS过程中会形成一搜索树。在搜索树上越先遍历到的节点，显然dfn的值就越小。

◦

◦DFS过程中，碰到哪个节点，就将哪个节点入栈。栈中节点只有在其所属的强连通分量已经全部求出时，才会出栈。

◦（对于一个强连通分量和一个指出去的有向边，在输出这个强连通分量的时候，那条指出去的边的终点已经作为一个强连通分量统计，并且出栈了。）

◦如果发现某节点u有边连到搜索树（栈）中栈里的节点v，则更新u的low 值为dfn[v](更新为low[v]也可以，更新为low可以算是压缩路径，速度略快）。

◦

另外附一篇资料，写的也很好：

处理SCC(强连通分量问题)的Tarjan算法

---Comzyh

在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected),如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图.

如图所示,蓝色框圈起来的是一个强连通分量

通俗的说法是:从图G内任意一个点出发,存在通向图G内任意一点的的一条路径.

非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components,SCC).

求图强连通分量的意义是:由于强连通分量内部的节点性质相同,可以将一个强连通分量内的节点缩成一个点,即消除了环,这样,原图就变成了一个有向无环图(directed acyclic graph,DAG).显然对于一个无向图,求强连通分量没有什么意义,联通即为强连通.

求强连通分量比较高效的算法是SCC Tarjan算法,BYV牛有一个很好的说明,推荐大家看一看:,我在这里就不照搬了.

Tarjan 算法基本基于DFS,时间复杂度就是遍历图一遍,为Θ(N),Tarjan 貌似很喜欢深搜的样子,LCA被深搜活生生的弄成了Θ(N),SCC 看来一样,Tarjan 一出现,时间复杂度果然降了一个数量级.

先看BYV牛的CODE,写的真不错,虽然第一遍我没看懂,不过相信加了注释后会好理解多,如果有错误,别打我.

void tarjan(int i)//Tarjan {    int j;    DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;//Index 时间戳     instack[i]=true;//标记入栈     Stap[++Stop]=i;//入栈     for (edge *e=V[i];e;e=e->next)//枚举所有相连边     {        j=e->t;//临时变量         if (!DFN[j])//j没有被搜索过         {            tarjan(j);//递归搜索j             if (LOW[j]

SCC Tarjan算法的基本框架: